2018年暨南大学考研810高等代数真题.pdf
2018 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 * 学科、专业名称:数学学科、基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、 运筹学与控制论专业 研究方向: 各方向 考试科目名称:高等代数 考试科目代码: 810 考试科目 : 高等代数 共 4 页 ,第 1 页 考生注意:所有答案必须写在答题纸(卷)上,写在本试题上一律不给分一、填空题(将题目的正确答案填写在答题纸上。共 10 小题,每小题 3 分,共 30分。)1、设 为 3 阶矩阵, , 求 = 。 A13A1*()5A2、当实数 时,多项式 有重根。 t 32xt3、 取值 时,齐次线性方程组 有非零解。12340()xx4、实二次型 ,其中二次型的矩阵22123131(,)TfxXAxabx(0)A的特征值之和为 1,特征值之积为-12,则 = , = 。5、矩阵方程 , 那么 。3426、已知向量 , , 是欧氏空间 的一10,21,031,023R组标准正交基,则向量 在这组基下的坐标为 。 ,考试科目 : 高等代数 共 4 页 ,第 1 页 考试科目 : 高等代数 共 4 页 ,第 2 页 7、已知矩阵 均可逆, ,则 。,AB0BXA1X8、4 阶方阵 的 Jordan 标准形是 。 209、在欧氏空间 中,已知 , ,则 与 的夹角为 (内3R2,1,21积按通常的定义)。 10、设三维线性空间 V 上的线性变换 在基 下的矩阵为 ,则 在 321,210基 下的矩阵为 。 213,考试科目 : 高等代数 共 4 页 ,第 3 页 二、(10 分)求多项式 与 的最大公因式。32()3fxx32()47gx三、(10 分)计算行列式 。111222nnnnxaaDaxaLMML四、(15 分)设线性方程组123x讨论 取何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?在方程组有无穷多解时,试 用其导出组的基础解系表示其全部解。五、(15 分)设 为 级实对称矩阵, , 的秩等于 ( )。An2Arn0(1)证明:存在正交矩阵 ,使 其中 是 级单位矩阵.T10rEr(2)计算 。 nAE六、(15 分) 设二次型 ,求出非退化线性变换将上述21231123,4fxxx二次型替换成标准形考试科目 : 高等代数 共 4 页 ,第 4 页七、(15 分) 为数域 上四维向量空间, , , ,VF10,21,31,2, 0, 的子空间 , ,试求 和 的基与维47,1321,LV43,LV2V数。八、(15 分)设 是线性空间 的线性变换且 。令 , 。21012证明: 且对每个 有 。21V1V九、(15 分)设 ,求正交矩阵 ,使得 是对角矩阵。0342ATTA十 、( 10 分 ) 设 为 方 阵 , 是 的 最 小 多 项 式 , 为 任 意 多 项 式 。 ()fx()gx证明: 可逆的充分必要条件是 。()gA,()1fgx