2019重庆理工大学研究生考试专业课真题822高等代数.doc
重庆理工大学硕士研究生试题专用纸第 1 页 (共 4 页)重庆理工大学 2018 年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称:理学院 学科、专业名称:数学,统计学考试科目(代码):高等代数(822) (A 卷) (试题共 4 页)注意:1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上,写在试题纸上一律无效。2.试题与答题纸装入原信封内交回。一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)1. 方程 的所有根为_.22334410x2. 设 , , 为 2 阶单位矩阵,则1A2BAII_.1B3. 方程组 有解的充要条件是 _.231xaa4. 已知 为 3 阶方阵, 与 相似, 且 的特征值为 1,2,3.设 为,ABABAB的伴随矩阵,则 _.I5. 已知实二次型 经22123131232(,)()fxaxxx正交变换 可化为标准形 ,则 _.Pyfy二、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)重庆理工大学硕士研究生试题专用纸第 2 页 (共 4 页)1. 设 为数域 上的多项式,则下列说法正确的是( ).(),()fxghF(A) 若 ,则 fx)(gxh(B) 若 ,则 (),1fg(,1ff(C) 若 互素,则 两两互素 ,)xh),()xgh(D) 若 ,则 或()|(fg|f|(fx2. 设 3 阶方阵 的秩 ,则 ( ).A)2R)A(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 33. 设向量组 可由向量组 线性表示,则下2:,r 12:,sB列说法正确的是( ).(A) 当 时, 向量组 必线性相关rs(B) 当 时, 向量组 必线性相关(C) 当 时, 向量组 必线性相关A(D) 当 时, 向量组 必线性相关4. 若 阶矩阵 的任意一行的 个元素之和都是 ,则 必有一个特征值nnaA为( ).(A) (B) (C) 0 (D) aa15. 设 是欧氏空间 的一个正交变换,则下列说法不正确的是( ).V(A) 保持向量的内积不变 (B) 保持向量的长度不变 (C) 不一定是可逆变换 (D) 在任一规范正交基下的矩阵是正交矩阵3、( 14 分)证明:设 是数域 上的次数大于 0 的多项式, 则 是)(xfF)(xf一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是,对 上的任意多项式 , g必有 , 或者对某一正整数 ,有 .1)(,xgf m)(|xfm重庆理工大学硕士研究生试题专用纸第 3 页 (共 4 页)4、(18 分)计算 阶行列式 .n310203102 nD五、(16 分)设 是 阶方阵, 是 阶矩阵,且 ,证明:BrCrn()RCr(1) (10 分)如果 ,那么 ;O(2) (6 分)如果 ,那么 .I六、(18 分)已知向量组 , ,1=2,4321,6, , ,设 生3=1,29, 47549123,成的子空间为 , 生成的子空间为123(,)WL12.22(,)(1) (10 分)求子空间 的维数; 12(2) (8 分)求子空间 的一个极大无关组.七、(20 分)设 是数域 上所有 3 维行向量构成的向量空间, 是3F的一个线性变换, 给定 的一个基:3 3F, , ,且 在基 , ,1=(,2=(1,0)3=(0,1)12重庆理工大学硕士研究生试题专用纸第 4 页 (共 4 页)下的矩阵是 .31023(1)(8 分)求出 在基 , , 下的矩1=(,0)2=(,10)3=(,1)阵;(2) (6 分)求出 的特征值和特征向量;(3) (6 分)判定 能否相似对角化.八、(14 分)设 是 阶正定矩阵, 是 阶单位矩阵.AnnI(1) (8 分)证明: 的伴随矩阵 是正定的;(2) (6 分)证明: 大于 .2nIn九、(20 分)已知实二次型 可(22123133(,)fxaxx)通过变量的正交变换化为标准形0a.2212313(,)4fyyby(1) (8 分)求 的值;,b(2) (12 分)求出将 化为标准形时所用的正交变换的矩阵.123(,)fx重庆理工大学硕士研究生试题专用纸第 5 页 (共 4 页)