暨南大学考研辅导班:暨南大学2019年845抽象代数A考研真题.docx
新祥旭考研官网 http:/www.xxxedu.net/暨南大学 2019 年 845 抽象代数 A 真题招生专业与代码:网络空间安全 083900考试科目名称及代码:抽象代数 845 (A 卷)考生注意:所有答案必须写在答题纸(卷)上,写在本试题上一律不给分。 新祥旭考研官网 http:/www.xxxedu.net/一、判断题(共 5 小题,每题 4 分,共 20 分)1. 设 是群 的单位, 。如果 , 则 。 ( eG,ababe) 2. 有限非交换群的阶至少为 6。 ( )3. 是循环群。 ( ) Z4. 域 上的多项式 不可约当且仅当 在 上没有根。 ( F()fx()fxF)5. 模 8 剩余类环 是有限域。 ( 8Z) 二、填空题(共 5 小题,每题 5 分,共 25 分)。1. 设群 是 8 阶循环群,则元素 的阶为_, 子群 在 中的指数是Ga2a2HaG_。2. 把置换 写成不相交轮换的乘积为_。(456)7(1)3. 设 为高斯整环,则 生成的理想为_。Zi i4. 模 6 剩余类环 的所有零因子为_ 。65. 在有理数域 上的极小多项式为 _。23Q三、(15 分)设 是两个有限集合,它们的势分别为 和 ,,ABAB新祥旭考研官网 http:/www.xxxedu.net/(1 ) 到 的不同映射共有多少个?( 8 分)AB(2 ) 到 的单射有多少个?( 7 分)四、(10 分)设 是正整数,试证:满足方程 的复数解的全体在通常乘法运算n10nx下是一个 阶循环群。五、(20 分)设 是两个群。,GH(1 ) 设 是群同态, 。试证: ,这里:fMG1()fMK。(10 分)()Ker(2 ) 设 是群同态,若 是 的一个有限阶元,证明 的阶整除 的阶。:f g()fg(10 分)六、(20 分)设 为正整数,求证:2n(1 ) 模 剩余类环 中元 可逆当且仅当 。(10 分)Zagcd(,)1na(2 ) 若 为素数,则 是 元有限域;若 不是素数,则 不是整环。(10 分)pp nZ七、(15 分)设 是多项式 的一个实根。u32693xxQ(1 ) 求证 。( 5 分)():Q(2 ) 将 , 分别表示成 的 -线性组合。( 10 分)412,u八、(15 分)(1 )设 是含幺环, 为环 的理想。并且当 时,R1,nI Rij新祥旭考研官网 http:/www.xxxedu.net/。证明有环同构 。(10 分)ijIR11/()(/)nniiIIRI(2 )解同余方程组 ,求出最小正整数解。( 5 分))7(mod253x九、(10 分)设 是群 的两个元。满足 , , 。试证,abG2ab31a2nb。1b