2017中科院考研真题高等代数.pdf
中国科学院研究生院 2007 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称:高等代数 考生须知: 1本试卷满分为 150 分,全部考试时间总计 180 分钟。 2所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 1 (10 分) 设多项式 (), (),()f xgxhx只有非零常数公因子,证明:存在多项式 ,使得 (),(), ()ux vx wx () () ()() ()() 1uxf x vxgx wxhx+ +=。 2 (10 分 ) 设 ,mnp都是非负整数,证明: 1)+ 整除。 2(xx33132()mn pxx x+3 (10 分) 设 A是 n阶实数矩阵, 0A ,而且 A的每个元素都和它的代数余子式相等。证明 A是可逆矩阵。 4 (25 分) 计算 n阶行列式 2cos 112cos 112cos112cos 112cosnD=OOO5. (20 分 ) 设 是齐次线性方程组12,nk LR 0AX = 的基础解系,,stR112 1 1, ,kkkkkst s t st1 =+ = + =+L。试问: 应该满足什么关系,使得,st11, ,kk L是方程组 0AX = 的基础解系,反之,当11, ,kk L是方程组 的基础解系时,这个关系必须成立。 0AX =科目名称:高等代数 第 1 页 共 2 页 5 (15 分) 设 A是实对称矩阵,如果 A是半正定的,则存在实的半正定矩阵B ,使得2AB= 。 6 (20 分) 已知,试证明对于 3n 有 I100101010A=22nnAA A= +,并计算100A ,其中 I 表示单位矩阵。 7 (20 分 ) 设二次型234222123 12 13f 22x x x axx xx=+ + bxx+ 通过正交变换化为标准形22232f yy,求参数 ,ab及所用的正交变换。 =+8 (20 分) 设 A 是复数域上 6 维线性空间 V 的线性变换, A 的特征多项式为 (2)+,证明 V 能够分解成三个不变子空间的直和,而且它们的维数分别是 1,2,3。 32(1)(1)科目名称:高等代数 第 2 页 共 2 页