2011中科院考研真题数学分析.doc
12011 年中科院数学分析考研试题一、30 分1、计算1lim2xx解: 11000ln2liliepln2limexptttt t00llixli1t tt t e2、计算 10limn()d解: 10l()ln()nxxxd由于 , ,根据00ln(1)2xdMx1l()(1)ln2nx 的任意性,可得:;10ln()xd故: im0nn3、证明极限 存在,并求值.120limxxe解:1112220003lililimxxxxxxeee111222000limlilixxxxxxeee故111222000lilimlixxxxxxeee2二、求数列 中最大的一项.31,2n解:设函数 ,则 ,从而稳定点为 ; ,故()xf21ln()xf1(,)e(0f,1max()ef显然 3 最接近 e,从而该数列最大的项为 .3三、设函数 满足: (当 ) , . 证明对于所有 ,()fx()0fx(0)f120,x.1212()()ffxf证明: 取 , 原不等式等价于120x1221()()(0fxfxff由中值定理可知, , 110,st221()()fxfx 即 1从而: , 可知上式显然成立 . 故原不等式成立. ()0fx四、设函数在内有界可微,试问下列名帖中那个必定成立(要说明理由) ,那个不成立(举反例)(1) 蕴含 ;(2) 存在蕴含 .lim()0xfli()0xflim()0xflim()0xf解: (1)不成立, , 但是 不存在;2sinlx 2sinlx(2)成立, 兹证明如下:令 , 任意取两个数列 , 总有li()0xf(2)()nfnf0limlinnf3根据有界性, 可得 lim()0nxf从而有 五、过抛物线上 的一点 做切线,确定 使得该切线与另一抛物线2yx2(,)aa所围成的图形面积最小,并求出最小面积的值. 241yx解:在 做切线的方程为(,)a 2yax从而可知道交点为 的解22(4)10xax24322(4)1aSaxd2()81)3当 时,S 有极大值. 所以1a4()S六、计算曲线积分 221CxydsA其中 表示曲面 与 的交线. C22xyzz解:由于对称性, ,它的交线是一个圆心在原点,半径为 1 的圆, xy24535510CCdsxydsdsA原 式七、设函数列 在区间 上一致收敛,而且对于每个 , 在 上有界. 0()nfxI 0n()nfxI证明函数列 在 一致有界,即存在常数 ,使得对于 所有的及M有xI4.()nfxM证明:由于函数列 在区间 上一致收敛,则 ,有0()nfxI0,.,Nstn,()nfxf再令 ,则总有存在常数 ,且()nnfxM使得对于 所有的及 有 。ma,sup()1,2ifxi 0nxI()nfM八、设 , 和 为非负数列,而且对于任意 ,有0k0kb0k k221kkab(1)证明: ;2110kki ib(2)若数列 还满足 ,则 .0kb20k21lim0ki证明:(1)(2)根据(1) ,2 22111000kkkki i iiabab,则 ,故 ,从而20kb20kiM2200kkiiM221 121001kki iiabS当 , , 充分大时,只要 ,有 ,即得到 ,k20SK1010S故:.21lim0ki