2015年中国科学院大学考研数学(二)真题及答案详解.docx
要考研,找金程 WWW.51DX.ORG经济学金融考研论坛 http:/www.51jrlk.com/2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合:题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A) (B) (C) (D) 21dx2lnxd21lndx2xde【答案】(D)【解析】 ,则 .(1)xxee 222(1)3lim(1)3x xx xee(2) 函数 在 内( )0sinlim()ttf(,(A) 连续 (B) 有可去间断点(C) 有跳跃间断点(D) 有无穷间断点【答案】(B)【解析】 , ,故 有可去间断点 .220sinlm0si()li1)txxtttfxe0()fx0x(3) 设函数 ,若 在 处连续则:( )co,xf(,)f(A) (B) 001(C) (D) 22【答案】(A)【解析】 时,0x0fxf1001coslimlicosxxf x 时,1 1sinf x 11cosinxx要考研,找金程 WWW.51DX.ORG经济学金融考研论坛 http:/www.51jrlk.com/在 处连续则: 得fx0100limcos0xffx1+1100lim=licosin=xxff得: ,答案选择 A1(4)设函数 在 内连续,其中二阶导数 的图形如图所示,则曲线()fx,()fx的拐点的个数为( )y(A) (B) (C) (D) 0123【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点,二阶导数变号.则拐点个数为 2 个.(5) 设函数 满足 ,则,fuv2,yfx与 依次是 ( )1uvf1uvf(A) (B) (C) (D) ,02,2,021,2【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解.令 ,则 ,从而 变为,yuxv,1uvxy2(,)yfx.故 ,22()(,)1f v 221,(1)uvfuv因而 .故选(D ).110,2uuvvff(6)设 是第一象限由曲线 , 与直线 , 围成的平面区域,Dxy41yx3函数 在 上连续,则 ( ),fxy,Dfxd(A) 13sin24cos,indfrr要考研,找金程 WWW.51DX.ORG经济学金融考研论坛 http:/www.51jrlk.com/(B) 1sin234cos,indfrrd(C) 13sin24,if(D) 1sin234cos,indfrdr【答案】(B)【解析】根据图可得,在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为 11(,),432sinsin2Drr 所以 1n234si(,)(cos,i)Dfxydfrrd故选 B.(7) 设矩阵 , .若集合 ,则线性方程组 有无穷多214aA21db1,2Axb解的充分必要条件为 ( )(A) (B) ,ad,ad(C) (D) 【答案】(D)【解析】,2111(,)04()2()2Abadad 由 ,故 或 ,同时 或 .故选(D)(),)3r11d(8) 设二次型 在正交变换 下的标准形为 ,其中12,fxxPy2213y,若 则 在正交变换 下的标准3(,)Pe132(,)Qe123(,)fxxQy形为( )要考研,找金程 WWW.51DX.ORG经济学金融考研论坛 http:/www.51jrlk.com/(A) (B) 2213y2213y(C) (D) 【答案】(A)【解析】由 ,故 .xPy2213()TTfxAyPy且 .201TA由已知可得01QPPC故20()TTAC所以 .选(A )2213()TTfxyQAy二、填空题:9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.:(9) 则 3arctny21tdx【答案】48【解析】 223(1)dtttx223(1)dytx222()()1()ttdtx.2148td(10)函数 在 处的 阶导数 _2()xf0n(0)nf【答案】 ln【解析】根据莱布尼茨公式得: (2) 2220(1)0ln(1)lnnnxfC要考研,找金程 WWW.51DX.ORG经济学金融考研论坛 http:/www.51jrlk.com/(11) 设 连续, ,若 ,则 fx20xftd1,51f【答案】 2【解析】 已知 ,求导得 ,故有20()()xft 220()()()xftdxf10(),ftd则 .25()2f(12)设函数 是微分方程 的解,且在 处 取得极值 3,yx0y0xy则 = .【答案】 2xe【解析】由题意知: , ,由特征方程: 解得03y0 2012,所以微分方程的通解为: 代入 , 解得:21xxyCe3y12C2C解得: 2xye(13)若函数 由方程 确定,则 = .,Zzy231xyze0,dz【答案】 1d23x【解析】当 时 ,则对该式两边求偏导可得0,y0z2323()xyz xyzee.将(0,0,0)点值代入即有2323xyz xyz1,.(0,)(0)xy则可得 (,)21| d2.33dzxxy(14) 若 阶矩阵 的特征值为 , ,其中 为 阶单位阵,则行列A,BAE3要考研,找金程 WWW.51DX.ORG经济学金融考研论坛 http:/www.51jrlk.com/式 .B【答案】21【解析】 的所有特征值为 的所有特征值为A2,1.B3,71.所以 .|371B三、解答题:1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分 10 分)设函数 , .若 与 在 时是等价无)ln(1)sinfxaxb3()gxk()fxg0x穷小,求 的值. ,bk【答案】 1,32a【解析】方法一:因为 , ,23ln(1)()xox3sin()!xo那么,23300 0(1)()()()ln(1)sin1limli lmxx xabxoxfaxbgkk可得: ,所以, 0213abk123bk方法二:由题意得 300 sin)1ln(lim)(li1kxbaxgf 203cossin1lmkxbax要考研,找金程 WWW.51DX.ORG经济学金融考研论坛 http:/www.51jrlk.com/由分母 ,得分子 ,求得 c;03lim20kx )cossin1(lim0 xbxax0)1(lim0a于是 )(li10xgf 203ilikb)( xkbx1cos)(snli203i)(mbkxxbxx 6sin)1(cos)(css1li0 由分母 ,得分子6k,sin)1(cos)1(2sin1li0 bxbx 0)cos21(lim0xbx求得 ;进一步,b 值代入原式 )(lim10xgfkxxx6sin)1(2cos1s)(sin21li0 xx cos)1(2sisi)(sin2si)(cos2li0 ,求得k61.31(16) (本题满分 10 分)设 A0, D 是由曲线段 及直线 , 所围成的平面区域,sin(0)2yAx0y2x, 分别表示 D 绕 轴与绕 轴旋转成旋转体的体积,若 ,求 A 的值.1V2 y1V【答案】 8【解析】由旋转体的体积公式,得dxf201)(V dxA202)sin( dx20cos142A要考研,找金程 WWW.51DX.ORG经济学金融考研论坛 http:/www.51jrlk.com/dxf20)(V AxdA-2cos20由题 求得,1.8(17) (本题满分 11 分)已知函数 满足 , , ,,fxy“(,)2(1)xxyfe(,0)1xfe2(0,)fy求 的极值.()【答案】极小值 0,1f【解析】 两边对 y 积分,得xxye)(2)(,)(,f )()2xe故 ,xx e)1()0(求得 ,ex故 ,两边关于 x 积分,得)()2(), xeyfxxdy1(xxee)()2y(C)1()2xxee(y由 ,求得yf 2),02.0所以 .xeyx)(令 ,求得 .0)2(2xyf 1yx又 ,x e2, ,xyef)1(xyf当 时, ,,0x(0,1),xA,0)1,(Bxyf 2)1,(yfC要考研,找金程 WWW.51DX.ORG经济学金融考研论坛 http:/www.51jrlk.com/为极小值.20,ACB(1)f(18) (本题满分 10 分)计算二重积分 ,其中(Dxyd22(,),Dxyyx【答案】 245【解析】 2()DDxydxdy210xd()dx2sin12 240 02icos55txtdt22400sinsi.5uttdd(19)(本题满分 11 分)已知函数 ,求 零点的个数?2121Xxfttfx【答案】 个2【解析】 222() (1)f x令 ,得驻点为 ,0x1x在 , 单调递减,在 , 单调递增1()2(f()2(fx故 为唯一的极小值,也是最小值.f而11 112 24 4()ftdttdt111224ttt在 , ,故()22tt1120tdt从而有 10f要考研,找金程 WWW.51DX.ORG经济学金融考研论坛 http:/www.51jrlk.com/211lim()lixxxftdt2 2 211limxxtdt 考虑 ,所以 .2 21lilim1xxtdx li()xf所以函数 在 及 上各有一个零点,所以零点个数为 2.()f,)2(,)(20) (本题满分 10 分)已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比,现将一初始温度为 的物体在 的恒温介质中冷却,120C2030min 后该物体降至 ,若要将该物体的温度继续降至 ,还需冷却多长时间?30 1C【答案】 30min【解析】设 时刻物体温度为 ,比例常数为 ,介质温度为 ,则t()xt(0)km,从而 ,()dxktktCem,所以 ,即0)12,010()12ktxte又 所以 ,所以(3x2lnk0t当 时, ,所以还需要冷却min.t(21) (本题满分 10 分)已知函数 在区间 上具有 2 阶导数,fx+a, , ,设 ,曲线 在点 处的0fa0fxbayfx,bf切线与 轴的交点是 ,证明 .x0, 【证明】根据题意得点 处的切线方程为(,)bf ()()yfx令 ,得0y()xf因为 所以 单调递增,又因为()f(a)0f所以 ,又因为b0()0fb