2018年中科院考研真题高等代数试题解答.doc
1中科院数学与系统科学研究所 2001 年高等代数试题解答一、 设 和 为满秩方阵,试求AB的逆矩阵(用 表示即可) 。OCQCBA,1解:由 知, 可逆。0detdetQ令 , 表示与 同阶的单位矩阵,则由211XE得EQ1,其中 为与 同阶的单位矩21XBOCA21E 1A阵,其中 为与 同阶的单位矩阵。E于是得 22211211,EBXCOA由此解出 121122111 , AOXA所以 .1BQ二、 设 为 个实数,方阵na, 212nnaaA 2211试求 的所有特征值。解: 的特征多项式为A由此可知, 的 个特征值为 ( 为 重特An0,1niian征根) 。三、 设 为正实数,求出满足dcba,与 之 的最小值.xyxyy解: 平面区域 的图形如下图dcxbaD,),(中阴影部分: ).(0011)(11)()det( 1112221 222 111222 111 niinniinnnnii nnn niiniiniinnn aaaa aaaaaE 3由此知 满足 与 之 的最小值即直线baxydcxyy与 交点的纵坐标,不难求得其值为baxydc.cd四、 设 为方阵,且 为满秩阵, 为实数,BAssC试证明: 存在正数 ,使得在 时, 满秩.aa0C证明:考虑矩阵 , 其中 为单位阵.)(11 ABsEE由于关于 的方程 仅有有限个根(它们为方阵sdet(1的全部特征根).从而数集 为有1AB0)det01sI限集.若 ,则令 为数集 中的最小数;若 ,则可取 为任IaIa何正数.于是,当 时,必有 .s0)t(1ABE所以, 当 时, 为满秩阵,从而14为满秩阵.BAsEC)(1五、 设 为 维欧氏空间)(,2,(21 nmiainiii 中的 个向量. 又设 其中 . 试证mmjijpP,1kjkiijap1明: 为线性无关的, 当且仅当 为满秩.m,21 P证明: 由已知条件, 为)(,2,),(21 niainiii 维欧氏空间中的 个向量. 令 为以n(21mA为列向量的矩阵 , 则 为 实矩阵,且 ),21(i( 表示 的转置矩阵).AP又设 为 阶方阵,B),()0,21 Om n则秩 秩 , 且为 阶方阵,从而 POA秩 秩 .BP以下证明秩 秩 . 为此考虑齐次线性方程组B(1)X与 (2)O令 分别表示(1)与(2)的解向量空间, 则显然有 .21,W21W另一方面, 注意到对任意 维实(列)向量 , nY0Y我们有 .OBXBXXB )(所以又有 . 从而 , 维 维 .1221W125由线性方程组理论可知, 秩 维 = ,秩 维 = ,B1WnB2n于是得 秩 秩 .B综上讨论, 我们有 秩 秩 秩 秩 .PA由此知, 线性无关, 当且仅当秩 ,当且仅当秩m,21 m,当且仅当 为满秩.P六、 设 为对称方阵, 试证明BA, 其中“ ”表示方阵的追迹(即对Tr()r()Tr角元素之和).证明: 设 为 阶对称方阵,n,),(2121 nnA .),(2121 nnB则 nnn nnnAB 212212 1212),(所以 nnn nnnn nAB 212212 12122122)(由此得 .ij ijji12 )(Tr()6而 nnn nnnA 212212 12122 ),(所以 nnn nnnn nBA 212212 1212212 12由此得 .ij ijji12 )()Tr(最后由柯西- 布涅柯夫斯基不等式易知.,1)()(,njiijjiijji 从而得 .BTrAr22 nnn nnnB 212212 12122 ),(