2018年西安建筑科技大学考研专业课真题818高等代数.pdf
西 安 建 筑 科 技 大 学 2018 年攻读硕士学位 研究生 招生考 试试题 共 2 页 考试科目: 适用专业: (818)高等 代数 一、填空题(共 6 题,每题5 分,共 30 分) 数 学 1. 假设 除以 得余 数是7 ,除以 的余 数是5,则 , . 2设 是3 次方程 的三 个 根,则3 阶行列式 123 312 231 xxx xxx xxx =. 3. 若二次型 是正定的,则 t 的 取值 范围 是 . 4. 在三维空间 中,线 性 变换 满足: . 则 在基 1 ( 1 ,0,0,), = 23 (0,1,0), (0,0,1) = = 下的矩阵为 . 5 设 2 2 1 0 210 W e e e| , , x xx a x a x a aaa R =+ 是实数域上线性空间 3 R 的子 空间 , 则其 一组 基为 . 6. 设 为 n 阶正定矩阵,其特征值为 ( 1, 2, , ) i in = ,则其 伴随 矩阵 的特征值为 . 二 、( 15 分) 计算 阶行列式 . 三 、( 10 分)设线性方程组 的解空间为 . 求(1 ) 的基 和维 数; (2 ) 的基和 维数. 四 、( 15 分)已知方程组 的通解 为 k + ,其中 为方程组的一个特解, 是导出组的基础解系, 为任意常数. 求 (1 ) 的值; (2)方程组的通解. 第 1 页 第 2 页 五 、( 20 分) 设 A ab cd = 为数域 上的二阶方阵,定义 上变换 为: 22 () , X AX XA X P = . (1)证明 为线性 变换 ; (2)求 在基 下的矩阵; (3)证明 必以0 为特征值,并求出 0 作为 的特征值的重数. 六 、( 20 分)设二次型 T 222 1 2 3 1 2 3 13 ( , , ) 2 2 2 ( 0) f x x x ax x x bx x b =+ x Ax其中二次型的矩阵 A 的特征 值之 和为1,特征值之积为 12 . (1 )写出二次型的矩阵 A ; (2)求 的值; (3 )利用正交变换将二次型 化为标准形,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 七 、( 15 分) 设 ,且 . 证明: . 八 、( 10 分) 设 是欧氏空间 的一组基,证明: (1)如果 使 ,那么 ; (2)如果 使对任一 有 ,那么 . 九 、( 15 分). 设 12 , r 是一组线性无关的向量, 1 , 1, 2, , r i ij j j ki r = = = .证明: 12 , r 线性无 关的 充 分必 要条 件是 .