2018山东科技大学研究生入学考试712数学分析真题.pdf
山东科技大学2018年全国硕士研究生招生考试数学分析试卷一、极限问题(共20分,每小题10分)1、求极限20tanlim1 sin 1xxx x 。2、设 ,2,1),(21,0,0 11 naaaannn 。证明: 数列 na 收敛,且其极限为 。二、一元函数的微分(共20分,每小题10分)1、已知 2 22ln siny y x ,求22d ydx 。2、设 1 cos , 0,( ), 0, x xf xx x 问:当为何值时?(1)在 0x 连续; (2)在 0x 可导, 并求 (0)f 。三、一元函数的积分(共10分) 求积分 24 1 cos2xdxx 。四、一元函数微积分及应用(共10分)设 ( )f x 在0,1上可微且120(1) 2 ( ) 0f xf x dx 。证明: 0,1 使得 )()( ff 。五、一元函数连续性和微积分(共15分)设 ( )f x 连续, 10( ) ( )g x f xt dt 且0( )limxf x Ax (A为常数)。(1)求导函数 ( )g x ; (2)讨论导函数 ( )g x 在 0x 处的连续性。六、幂级数问题(共12分,第1题8分,第2题4分)1、求幂级数 )11()1(11xnn xnn的和函数。 2、求级数 1 2)1(1nnnn 的值。七、 多元函数的微分 (共12分) 已知函数0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf 试证: ),( yxf 在 )0,0( 处连续且存在偏导数,但不可微。八、证明题(共15分,第1题8分,第2题7分)1、设 ),( f 具有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程: 02222 ff ,试证: 函数 )2,( 22 xyyxfz 也满足拉普拉斯方程 02222 yzxz 。2、证明:含参量积分 dxeI x20)( ,当 0 时收敛但不一致收敛。九、重积分问题(共12分) 设 dxdydzzyxftFtzyx)()(2222222 其中 )(uf 为连续可导函数且 1)0(,0)0( ff 。试证: 01 )41ln()(lim 550 tt etttF 。十、曲线积分(共12分) 计算曲线积分 dzyzxzdyydx 23 ,其中是圆周2222zzyx, 从z轴正向看去,取逆时针方向。十一、曲面积分(共12分)计算第二型曲面积分 dxdyzdzdxydydzxI 333 32 其中,为球面 )0(2222 aazyx 在第一卦限部分,方向取上侧。