2017年浙江理工大学912高等代数考研专业课真题分享.pdf
第 1 页,共 2 页 浙 江 理 工 大 学 2017 年硕士研究生招生考试初试试题 考试科目: 高等代数 代码: 912 (请考生在答题纸上答题,在此试题纸上答题无效) 一 .( 15 分)设有线性方程组 1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 4512 3 33 8 19 3 7 7x x x xx x x xx x x xx x x x 试用其一个特解与其导出方程组的基础解系表出其全部解 . 二 . (15 分) 求向量组 1 1, 1,2,2,0 , 2 2, 2,4 , 2,0 , 3 3,0,6, 1,1 , 4 0,3,0,0,1 . 的一个极大无关组,并把每个向量都用极大无关组表示出来 . 三 . (15 分)在复数域上求下列矩阵的若尔当标准型: 4 5 22 2 11 1 1 四 . (15 分) 计算 n 阶行列式1 2 32 3 4 1.3 4 5 21 2 1nDnn五 (15 分) 设向量组 12, , , r (1) 线性无关,且可由向量组 12, , , s (2) 线性表示 .证明: 1) rs ; 2)向量组( 2)中存在 r 个向量用组( 1)中某 r 个向量代替后得到的向量组 与组( 2)等价 . 第 2 页,共 2 页 六 .(15 分 )设 T 为线性空间 V 的一个线性变换,且 2TT .证明: 1) T 的特征值只能是 1 或 0; 2) 若用 1V 与 0V 分别表示对应于特征值 1 或 0 的特征子空间,则 : 11 , 0 0V TV V T 3) 110 0V V V T V T ; 4) T 只有特征值 0 的充要条件是 T 为零 变换 . 七 .(15 分 ) 如果既约分数 qp 是整系数多 项式 10 1 1nn nnf x a x a x a x a 的根 .证明:对任何整数 k , pk q 整除 fk. 八 .(15 分 ) 用正交线性代换化下列二次型为标准型形: 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 32 2 4 4 8f x x x x x x x x x x 九 ( 15 分)设 A 为 mn 矩阵, 设 B 为 ns 矩阵,证明: Sylvester 不等式: r A B r A r B n 十 ( 15 分 ) 1 2 31 , 0 , 2 , 1 , 2 , 0 , 1 , 1 , 3 , 0 , 3 , 0 , 121, 1, 0 , 1 , 4 , 1, 3 , 1, 令 1 1 2 3,VL , 2 1 2,VL.求 12VV 的维数,并求其一组基 .