2019江苏大学数学分析考试大纲.doc
第 1 页,共 10 页全国硕士研究生入学统一考试数学专业数学分析考试大纲I 考查目标全国硕士研究生入学统一考试数学专业 数学分析考试是为我校招收数学硕士生设置的具有选拔性质的考试科目。其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读数学专业硕士所必须的基本素质、一般能力和培养潜能,以利于选拔具有发展潜力的优秀人才入学,为数学学科及社会的发展培养具有良好职业道德、法制观念和国际视野、具有较强分析与解决问题能力的高层次、应用型、复合型的数学专业人才。考试要求是测试考生掌握分析、表达与解决问题的一些基本能力和技能。具体来说就是:要求考生理解数学分析的基本概念和基本理论,掌握数学分析的基本思想和方法具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。II 考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为 150 分,考试时间 180 分钟。二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。不得使用带有公式和文本存储功能的计算器。三、试卷内容与题型结构一元函数微积分 约占 60%,多元函数微积分 约占 25% ,无穷级数 约占 20有以下三种题型: 填空题或选择题(20%) 、计算题(30%) 、综合题(50%)III 考查内容1、极限和函数的连续性第 2 页,共 10 页(1)熟练掌握数列极限与函数极限的概念;理解无穷小量、无穷大量的概念及基本性质。(2)掌握极限的性质及四则运算法则,能够熟练运用迫敛性定理和两个重要极限。(3)熟练掌握:区间套定理,确界存在定理,单调 有界原理, 聚点定理,有限覆盖定理,Cauchy 收敛准则;并理解其相互关系。(4)熟练掌握函数连续性的概念及相关的不连续点类型。能够熟练地运用函数连续的四则运算与复合运算性质。(5)熟练掌握闭区间上连续函数的基本性质:有界性定理、最值定理、介值定理,一致连续性。 (6)熟练掌握实数基本理论和性质,会用实数理论及性质表达和证明相关命题。2、一元函数微分学(1)理解导数和微分的概念及其相互关系,理解导数的几何意义,理解函数可导性与连续性之间的关系。(2)熟练掌握函数导数与微分的运算法则,包括高阶导数的运算法则、复合函数求导法则,会求分段函数的导数。(3)熟练掌握 Rolle中值定理,Lagrange 中值定理和 Cauchy中值定理以及Taylor展式。(4)能够用导数研究函数的单调性、极值,最 值 和凹凸性。(5)掌握用洛必达法则求不定式极限的方法。第 3 页,共 10 页3、一元函数积分学(1)理解不定积分的概念。掌握不定积分的基本公式,换元积分法和分部积分法,初等函数的积分。(2)掌握定积分的概念与性质及可积条件与可积函数类。(3)熟练掌握微积分基本定理,定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值定理。(4)能用定积分计算:平面图形的面积,平面曲线的弧长,旋转体的体积与侧面积,平行截面面积已知的立体体积及在物理上的应用。(5)理解反常积分的概念。熟练掌握判断反常积分收敛的比较判别法,Abel 判别法和 Dirichlet 判别法。4、无穷级数(1)理解数项级数敛散性的概念,掌握数 项级数的基本性 质。(2)熟练掌握正项级数敛散的必要条件,比较判别法,比式判别法和根式判别法,积分判别法。(3)熟练掌握任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系。熟练掌握交错级数的判别法。掌握绝对收敛级数的性质。(4)熟练掌握函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的 Cauchy收敛准则, Weierstrass 判别法,Abel 判别法和 Dirichlet判别法。(5)掌握幂级数及其收敛半径、收敛区间的概念。第 4 页,共 10 页(6)熟练掌握幂级数的性质。能够将函数展开为幂级数。理解余项公式。(7)掌握傅里叶级数的概念与性质,掌握傅里叶级数展开的方法。5、多元函数微分学与积分学(1)理解多元函数极限与连续性,偏导数和全微分的概念,会求多元函数的偏导数与全微分,方向导数和梯度。(2)掌握隐函数存在定理,隐函数和隐函数的求导方法。(3)会求多元函数的极值和条件极值,了解偏导数的几何应用。(4)熟练掌握重积分、两类曲线积分和两类曲面积分的计算。(5)熟练掌握 Gauss公式、Green 公式及 Stoks公式。6、含参变量积分(1)掌握含参变量正常积分、含参变量反常积分和欧拉积分的概念与性质及一致收敛的判别法。(2)熟练掌握变上限积分及其性质。IV. 题型示例及参考答案第 5 页,共 10 页1 填空题(30 分):(1)极限 ;极限 。xx30sintalm21nn2silm1(2)函数 的间断点是 ,该间断点的类型是第二类间断点。ef 0x(3)已知函数 可导,且 ,则 ;若取 。fy2y2xffxef则 21 。021y(4)改变积分 的积分次序为 。其极坐标形式为xdf2,10 ydf,10。2sinco0,rfd(5)级数 的和函数是 ,及收敛区间为 。1nx21x1,2 叙述 的 描述,证明数列 发散。 (6 分)alimNn1【解】 的 描述: ,使得对 , ,成立 。数列xn 0Nk0axn发散:对任意实数 ,取 ,则可以取 ,则有n1 112an,故数列 发散。12ak n3 证明数列 收敛,若及其极限为 ,进一步证明 。 (8 分)nnxeexxlim【证明】利用二项展开式,将 表示为nx,nknkkiniCx0001!1!1比较 与 相应各项,注意到n,得到 ,即数列 是单调递增数列,又 ,当 时,1nx1nxnkx0!1。第 6 页,共 10 页恒有 ,则有 ,即数列有界,根据数列收敛准则,数列12!knkx132收敛。若记 ,对任意 ,总是存在 ,使得nnx ennlimxn则有 ,利用夹逼定理,我们得证111 nx证毕。exxlim4 设函数 定义在 上, 在每一个有限区间 内有界并满足f,axfba,。试证明: .(10 分)Ax1li Alim【证明】由题设条件知,对 , ( ) ,当 时,成立0aX00Xx(1)3xff任取 ,记 , ,则显然 ,于是 ,0X0xnxnL01LxnL0,由(1)式,有Lx xnk xx AnkfkfAf1000(2) 3110 xnkx nALff根据 在 上的有界性,有 ,及 ,于是,a0lim0Lfx 0lim0xL,当 时,成立 , (3)X1130f x又 AfAnLfxAxf 00(4) xLxffnx 000现在取 ,则当 时, )2) (3)同时成立,由(4)我们得到10,maX。Axfli5.设函数 在区间 只有可去间断点,令 ,证明 为连续函数。 (6 分)fIyfxgxlimxg【证明】记 的间断点全体为 ,记 ,由题设, 在 上处处有定义。xfEIDxgD。由 ,对任意 ,存在 ,当 。且Dx0 yfgxy0lim000y时,总有 (1)yxg对任意 ,考虑到开邻域的开集性质,存在 ,则对任意U0, 01,xU且 , (1)成立,令 ,取极限得到1,xy,也即00lixyfgx 00xg即对任意 ,成立 ,则 ,证明 在 处连0.xg0limxxg0续,由于 的任意性,证明 为连续函数。6.已知 在区间 内具有单调的导数,证明 的导函数在区间 内连续。 (6 分)xfba, f ba,【证明】不妨设 在 内单调递增,对任意 ,在在 的左半邻域 中, bax,00x0xU单调递增且以 为其上界,在 的右半邻域 中, 单调递增且以f 0f0Uf为下届,则由单调有界定理,极限 和 存在,由单侧导数的定义。0x fxlimx0li知道 , ,因为 存在,其左右极限相等,故而0_0limxff)(li00fx f得到 。则 在 连续,由 的任意性,得证 在区间 内连续。x xfba,7.设函数 在区间 上二阶可导且 ,试证明:存在点 ,使fba,bfaf ,得 。 (8 分)f24【证明】取 ,由题设,得到下列 Taylor 展式:x, , (1)212 abfabfabf 21ba, , (2)2fff由(1)和(2) ,并注意到题设条件得到,08212abffabf 记 ,则2,mx 212218fffff 。241ab第 7 页,共 10 页8.证明;闭区间 的全体聚点的集合是 本身(8 分)ba, ba,【证明】 (1)设 ,若 ,则对 的任意邻域 ,取xx,x,xU,则 , ,即 中含有 的,min,Uba,ba,无数个点,即 为 的聚点。若 ,取 ,则 , ,在 内含ax,iab, ,.U有 的无穷多个点,则 为 的据点。b, 同理可证 也是 的聚点。,(2)设 为 的聚点,且 ,则 或 ,不妨设为 ,则取 ,x, bx,axbaxx0则 且 ,则在 中不含 的点,与聚点相矛盾,故0aU,00,U,ba,综合(1)和(2)证得 。,9.设 和 均为定义在 上的有界函数,若已知仅在 上有限个点处成立xfgbaba,,则当 在 上可积时, 在 上也可积,且xf,xg,。 (8 分)babadf【证明】设 和 仅在 个点 上取值不同,记 ,gkka,21 iikiagfM1max。对 ,存在 ,使当 时,有 ,令badxfI01T2TiIf,则当 时,有M4,min1TTTiiiT xfxgIxg TiIxf(1)Tiiif22iiTgf当 时, ,则 中至多有 项不为 0,故从(1)式得到iia0iigiik,由此证得 在 上可积且4kMIxgTi xba,。babadf第 8 页,共 10 页101.设 在 上连续,且 ,证明: 。 (8 分)xf,0AxfxlimAdtfx01lim【证明】对任意 ,由 ,存在 ,当 ,有 ,且在fxliX2f, fXx TTTT dxfdxAdf 0000 111TXdxfT AffX TXT12100注意到 的连续性,得知 在闭区间 上连续有界,故令fAxf,0XdfXX2,max01则得到 ,即 。TAdtfx01lim11.已知曲线 ,其中 ,试求:(1)该曲线的弧长;(2)曲线所围图形cos1ara的面积;(3)曲线绕极轴旋转所成立体的曲面面积(12 分) 。【解】 (1)由题设可知曲线关于极轴对称,故 , 002cos2dadryL所以 ;adaL82sin2cos400(2)曲线所围图形面积为 。20220 3cos11 addrA (3)曲面面积 。20 5sinco42aysS12.已知级数 收敛,且级数 绝对收敛,证明级数 收敛。 (8分)nanb1 nb第 9 页,共 10 页【证明】因为级数 收敛,根据 Cauchy 收敛准则,对 ,存在 ,使得当na 001N,对任意自然数 ,都有 (1)1Nnppnka由于 绝对收敛,对上述 ,存在 ,使得当 ,对任意自然数 ,nb1 002N2np成立 (2)Mpnkk由根据收敛的定义。级数 的部分和有界,即 有界,也即nb1 nknbb11。利用 Abel 变换得到,当 时,对任意自然数 。有bn2,maxNp 1 11211nk pnknkppnnnpnk abbbaba nkpnkppnpnknn ab 1211 。Mpnkk1根据 Cauchy 收敛准则,级数 收敛。nba13.设函数 在区间 上连续,证明:(1) 在 上收敛;(2)xf,2xfn1,在 上一致收敛的充要条件是什么?证明之。 (8 分)n,1【证明】 (1)直接计算得到 ,由此证明数列 在 上收1,20limxffxn xfn1,2敛;(2)上述数列在 上一致收敛的充要条件是 。1,20f第 10 页,共 10 页必要性“由 的连续性,故其在 上有界,又函数数列 一致收敛且在该区间上xf 1,2xfn连续,则其极限函数 在该区间上也连续,故 。g0lim1gfx充分性“设 ,因为 ,导数数列 的极限函数 ,考虑到Mxf01fnxf在 处连续,所以对 ,存在 (不妨设 ) ,当 时,121x,由此我们得到:当 时, ,当xfxf 1xffn0时, ,显然 。综上所述, 在2nn10limMn xfn上一致收敛。14.已知 为区间 上可积函数,且其 Fuier 级数在 上一致收敛于 ,证明xf, ,f成立 Parseval 等式: 。 (8 分)12201nnbadxf【证明】由题设, ,10sico2nnxaxf所以 dxbafdf nn 102 i1(这里用到了收敛的一致性质,即和运10 siconnnxxfxfa算于积分运算可交换次序) 1120 sicsnn xdfbdxfa。2nb15.已知一元函数 在区间 上连续,令xba,, ,试证明(1) 是否连续?(2) 是否一yxf, ,y yxf,yxf,致连续?(8分)【证明】 (1)由题设,对 , 连续,即对 ,存在 ,当bax,0x00,1x,恒有 ,故对任意 ,对任意0x,baDy,取 ,则当 (此时 满足) ,12020y100, xyff得知 在点 处连续,由 的任意性,得到 在 上处处连续。x0,yyxf,(2)因为 在闭区间 上连续,故在闭区间 上一致连续,与( 1)类似可以证明ba, ba,是一致连续的。yf,16.设 和 在点 的某邻域内存在,且 在点 处连续,试证明:xfyx0, yxf0,存在且 。 (8 分)0,fy 0,yxffo【证明】注意到 的定义表达式,令xy 000000 ,), yxfyxfxffxF ,对固定的yfyg则 ,由题设知道 在 邻近可导,根据微分中值定理,得00,gx yg0到 ,其中 介于 和 之间。又xfxfFy 1011 , 10x由题设知道, 在 邻近关于变量 可导,所以fy,,其中 介于 和 之间,也即ffxf yxyy121010 ,20o( 时) , ( 时) ,得到20,所以fFyx12,,考虑到 在点 处连续,即证12000 ,limlim, yxyxyxy fFf yxf0,得 存在且 .,ffxoy