2015年全国硕士研究生入学考试数学一试题及答案.pdf
2015 考研数学一答案 一、选择题 ( 1) 设函数 ()fx在 ( - ,+ ) 连续,其 2 阶导函数 ()fx 的图形如下图所示,则曲线()y f x 的拐点个数为() ( A) 0 ( B) 1 (C) 2 ( D) 3 【答案】 C 【解析】 拐点为 正负发生变化的点 21123x x xy e x e y a y b y c e ( 2 ) 设 是 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 一 个 特 解 ,则 :(A ) 3 , 1, 1 .(B ) 3 , 2 , 1 .(C ) 3 , 2 , 1 .(D ) 3 , 2 , 1 .a b ca b ca b ca b c 【答案】( A) 【解析】 2211 , + 0231 2 3 , 1 2 2 , 3 21.xxxxe e a ba b y x e y y y c ec 为 齐 次 方 程 的 解 , 所 以 2 、 1 为 特 征 方 程 的 根 ,从 而 再 将 特 解 代 入 方 程 得 : “(x)f 11( 3 ) 3 3 1( A )( B )( C ) .( D )nnnnna x x n a x 若 级 数 条 件 收 敛 , 则 与 依 次 为 幂 级 数 的 :收 敛 点 , 收 敛 点 .收 敛 点 , 发 散 点 .发 散 点 , 收 敛 点发 散 点 , 发 散 点 .【答案】 B 【解析】 1 1 1112 1 11 0 , 21 0 , 2 3 3 1nnn n nn n nnnnnnna x a x a xn a x x x n a x 因 为 条 件 收 敛 , 故 为 幂 级 数 的 条 件 收 敛 点 , 进 而 得的 收 敛 半 径 为 , 收 敛 区 间 为 ; 又 由 于 幂 级 数 逐 项 求 导 不 改 变 收 敛 区 间 , 故的 收 敛 区 间 仍 为 , 因 而 与 依 次 为 幂 级 数的 收 敛 点 , 发 散 点 .( 4)设 D 是第一象限中曲线 2 1, 4 1xy xy与直线 ,3y x y x围成的平面区域,函数( , )f xy 在 D 上连续,则 ( , )D f x y dxdy ( A) 13 s i n 214 2 s i n 2 ( c o s , s i n )d f r r r d r ( B) 1s i n 2314 2 s i n 2 ( c o s , s i n )d f r r rd r (C) 13 s i n 214 2 s i n 2 ( c o s , s i n )d f r r d r ( D) 1s i n 2314 2 s i n 2 ( c o s , s i n )d f r r d r 【答案】 B 【解析】 由 yx 得, 4 由 3yx 得, 3 由 21xy 得, 2 12 c o s s i n 1 ,s i n 2rr 由 41xy 得, 2 14 c o s s i n 1 ,2 s i n 2rr 所以 1s i n 2314 2 s i n 2( , ) ( c o s , s i n )D f x y d x d y d f r r r d r ( 5)设矩阵21 1 11214Aaa,21bdd,若集合 1,2 ,则线性方程组 Ax b 有无穷多个解的充分必要条件为 ( A) ,ad ( B) ,ad ( C) ,ad ( D) ,ad 【答案】 D 【解析】 221 1 1 1 1 1 1 1, 1 2 0 1 1 11 4 0 0 1 2 1 2A b a d a da d a a d d Ax b 有无穷多解 ( ) ( , ) 3R A R A b 1a或 2a 且 1d 或 2d ( 6) 设二次型 1 2 3( , , )f x x x 在正交变换 x Py 下的标准形为 2 2 21 2 32y y y,其中 1 2 3( , , )P e e e ,若 1 3 2( , , )Q e e e ,则 1 2 3( , , )f x x x 在正交变换 x Qy 下的标准形为 ( A) 2 2 21 2 32y y y( B) 2 2 21 2 32y y y( C) 2221 2 32yyy( D) 2221 2 32yyy 【答案】 A 【解析】 设二次型对应的矩阵为 A , 1 2 3, , ,P e e e 二次型在正交变换 x Py 下的标准行为 2 2 21 2 32,y y y则 1 2 1,1P AP若 1 3 2, , ,Q e e e 则121,1Q AQ故在正交变换 x Qy 下的标准型是: 2 2 21 2 32 - +y y y, 故选 A 。 ( 7) 若 ,AB为任意两个随机事件,则 ( A) ( ) ( ) ( )P AB P A P B ( B) ( ) ( ) ( )P AB P A P B ( C) ( ) ( )() 2P A P BP AB ( D) ( ) ( )() 2P A P BP AB 【答案】 C 【解析】 )()(),()( ABPBPABPAP 故选 ( 8 ) X , Y 2 , 1 , 3 , 2E X E Y D X E X X Y 设 随 机 变 量 不 相 关 , 且 则 (A) 3 (B)3 (C)5 (D)5 【答案】 D 【解析】 2222 2 225E X X Y E X X Y X E X E X Y E XD X E X E X E Y E X 二、填空题 ( 9)20 ln c o slimx xx 【答案】 1-2 【解析】 ( 10) 2-2s i n()1 c o sx x d xx 【答案】 24 【分析】此题考查定积分的计算,需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简 . 【解析】 s in x1 + c o s x + x d x = 2- p2p2 x d x0p2 = p 24( 11) 若函数 ( , )z z x y 由方程 + cos 2xe xyz x x 确定,则 (0,1)dz . 【答案】 -dx ( 12 ) 设 是 由 平 面 1x y z 与 三 个 坐 标 平 面 所 围 成 的 空 间 区 域 , 则( 2 3 )x y z dxdydz )(2)()( ABPBPAP ( ) ( )() 2P A P BP A B ( C) 22 2 20 0 01l n c o s c o s 1 12l i m l i m l i m 2x x x xx xx x x 【答案】 14 【分析】此题考查三重积分的计算,可直接计算,也可以利用轮换对称性化简后再计算 【解析】由轮换对称性,得 x + 2 y + 3 z( ) d x d y d zW = 6 z d x d y d zW = 6 z d z01 d x d yDz 其中 Dz 为平面 z=z 截空间区域 W 所得的截面,其面积为 121-z( )2.所以 x + 2 y + 3 z( ) d x d y d zW = 6 z d x d y d zW = 6 z 12 1 - z( ) 2 d z =01 3 z 3 - 2 z 2 + z( ) d z =01 14 ( 13) n 阶行列式2 0 0 2-1 2 0 20 0 2 20 0 -1 2 【答案】n+122【解析】 按第一行展开得 =2n+1-2 ( 14) 设二维随机变量 ( , )XY 服从正态分布 (1,0;1,1;0)N ,则 ( 0 )P X Y Y . 【答案】 12 【解析】 ( , ) (1, 0 ,1,1, 0 )X Y N (1,1) , ( 0 ,1) ,X N Y N 且 ,XY独立 1 (0,1)XN 0 ( 1 ) 0P X Y Y P X Y 1 0 , 0 1 0 0P X Y P X Y , 1 1 1 1 12 2 2 2 2 三、解答题 ( 15)设函数 ( ) l n (1 ) s inf x x a x b x x , 3()g x k ,若 ()fx与 ()gx 在 0x 是等价无穷小,求 a , b , k 值。 【解析】 ( ) l n (1 ) s inf x x a x b x x 2 3 3332 3 3 !x x xx a x x b x x x 2 3 3 1 23aaa x b x x x 3( ) ( )f x g x kx与 是等价无穷小 1 + 0 110 22133aaa bba kk ( 16)设函数 ()fx在定义域 I 上的导数大于零,若对任意的 0xI ,曲线 ()y f x 在点00( , ( )x f x 处的切线与直线 0xx 及 x 轴所围成的区域的面积为 4,且 (0) 2,f 求 ()fx的表达式。 【解析】 如下图: 处的切线方程为 : 与 轴的交点为: 时, ,则 , 因此, .即满足微分方程: ,解得:. 又因 ,所以 ,故 . ( 17)已知函数 xyyxyxf ),( ,曲线 3: 22 xyyxC ,求 ),( yxf 在曲线 C 上的最大方向导数 . 【详解】 根据方向导数与梯度的关系可知,方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模 .,故 xyyxg ra d f 1,1),( 故 ),( yxf 在 曲线 C 上的 最大方向导 数为 22 )1(1 xy ,其 中 yx, 满足322 xyyx ,即就求函数 22 )1()1( xyz 在约束条件 0322 xyyx 下的最值 . 构造拉格朗日函数 ),( yxF )3()1()1( 2222 xyyxxy 0xx l 0 0 0( ) ( ) ( )y f x x x f x l x 0y 00 0()()fxxx fx 0 00()()fxAB x xfx 00001 1 ( )( ) ( ) 42 2 ( )fxS A B f x f xfx 2 18yy118xcy (0) 2y 12c 84y x 令0302)1(202)1(222 xyyxFxyyyFyxxxF可得 )1,1(),1,1( )2,1(),2,2(, 其中 )2,1(9)1,2(,0)1,1(,4)1,1( zzzz 综上根据题意可知 ),( yxf 在曲线 C 上的最大方向导数为 3 . ( 18) (本题满分 10 分) ( )设函数 ( ), ( )u x v x 可导,利用导数定义证明 ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x u x v x u x v x ( )设函数 12( ), ( ). ( )nu x u x u x可导, 12( ) ( ) ( ) . ( ) ,nf x u x u x u x 写出 ()fx的求导公式 . 【解析】 ( 19)(本题满分 10 分) 00()l im( ) ( ) ( )l i m( ) ( )xxu x x v x x u x v xu x v xxu x x u x v x x u x v x x v xxu x v x u x v x 121 2 1 21 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnn n nf x u x u x u xu x u x u x u x u x u xu x u x u x u x u x u x u xu x u x u x u x u x u x u x u x u ()x已知曲线 L 的方程为 222,z x yzx 起点为 (0, 2,0)A ,终点为 (0, 2,0)B ,计算曲线积分 2 2 2 2( ) ( ) ( )LI y z d x z x y d y x y d z 【详解】曲线 L 的参数方程为cos ,2 sin ,cos ,xyz 从 2 到 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )LI y z d x z x y d y x y d z 22222322222202( 2 s i n c o s ) s i n 2 s i n 2 c o s ( c o s 2 s i n ) s i n12 s i n s i n 2 s i n s i n2122 s i n 2 2 s i n 2 22 2 2dddd ( 20)(本题满分 11 分) 设向量组 1 2 3, 是 3 维向量空间 3 的一个基, 1 1 322k , 222 ,3 1 3( 1)k 。 ( )证明向量组 1 2 3, 是 3 的一个基; ( )当 k为何值时,存在非零向量 在基 1 2 3, 与基 1 2 3, 下的坐标相同,并求出所有的 。 【解析】 ( ) 1 2 3( , , ) 1 2 32 0 1( , , ) 0 2 02 0 1kk 因为 2 0 1 210 2 0 2 4 0212 0 1 kkkk , 所以 1 2 3, 线性无关, 1 2 3, 是 3 的一个基。 ( )设 2 0 10 2 02 0 1Pkk, P 为从基 1 2 3, 到基 1 2 3, 的过渡矩阵,又设 在基 1 2 3, 下的坐标为 1 2 3( , , )Tx x x x ,则 在基 1 2 3, 下的坐标为 1Px , 由 1x P x ,得 Px x ,即 ( ) 0P E x 由 1 0 1 110 1 0 0220P E kkkkk ,得 0k ,并解得 10,1x c c 为任意常数。 从而 13,c c c 为任意常数。 ( 21)(本题满分 11 分) 设矩阵0 2 -3-1 3 31 -2Aa 相似于矩阵1 -2 0000 3 1Bb . ( )求 ,ab的值 . ( )求可逆矩阵 P ,使得 1P AP 为对角阵 . 【解析】 由 相似于 则 解得 当 0 2 31 3 312Aa 1 2 0000 3 1Bb0 3 1 10 2 3 1 2 0 ,1 3 3 0 01 2 0 3 1abba 4, 5ab223( ) | | 1 3 3 ( 1 ) ( 5 ) 01 2 4Af E A 121,1 2 3 1 2 3( ) 1 2 3 0 0 01 2 3 0 0 0EA