南京航空航天大学2014年高等代数考研真题.pdf
科目代码:814 科目名称:高等代数 第 1 页 共 2 页 南京航空航天大学 2014 年硕士研究生入学考试初试试题( A卷) 科目代码 : 814 科目名称 : 高等代数 满分 : 150 分 注意: 认真阅读答题纸上的注意事项;所有答案必须写在答题纸上,写在本试题纸或草稿纸上均无效;本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回! 一、(20 分)设 3 阶矩阵 A和 B 满足关系 BAAB += 3 ,并且 A的特征值均为正数, A的伴随矩阵为=403010001*A . 求 A的行列式和全部特征值; 求矩阵 B 和矩阵1)(EA ,其中 E 表示单位矩阵. 二、(20 分)设 3 阶实对称矩阵 A的各行元素之和为零,二次型 AXXXfT=)( 在正交变换PYX = 下的标准形是232266 yyf += (这里 “ T ” 表示转置, 以下各题相同),求正交矩阵 P 和矩阵 A. 三、(20 分)设1V 是由向量组TTTaaaa )3,1,(,)1,1(,),1,1(321+= 生成的子空间,2V 是由向量组TTTaaaa ),2(,)4,2(,),1,1(321= 生成的子空间,并且1V 和2V 都是3R 的 2 维子空间. 求参数 a; 求21VV 的维数和基; 求出3R 中满足条件1V 且2V 的全部向量 ,并说明理由 四、(20 分)设 3 维线性空间 V 的线性变换 在基321, 下的矩阵是 ,1101621=baA 且3212 += 是 的一个特征向量. 科目代码:814 科目名称:高等代数 第 2 页 共 2 页 求参数 ba, 和 对应于 的特征值 ; 求 在基3213322211, +=+=+= 下的矩阵 B ; 求矩阵 A的初等因子和 Jordan 标准形. 五、(15 分)设 )(xf 和 )(xg 是两个非零多项式, n是自然数,证明: 若 1)(),( =xgxf ,则 1)()(),()( =+ xgxfxgxfnnnn; 若 )()(),( xdxgxf = ,则 )()()(),()( xdxgxfxgxfnnnnn=+ 六、(20 分)设r ,21null 是一组线性无关的 n 维向量, sjcriiijj,2,1,1null= ,记=rsrrsscccccccccCnullnullnullnullnullnull212222111211,证明: s ,21null 线性无关的充分必要条件是 C 的秩为 s; r ,21null 与s ,21null 等价的充分必要条件是 C 的秩为 r . 七、(20 分)设 n阶矩阵 BA, 满足条件 AABA =2,0 ,证明: nBA + )()( 秩秩; nAEA =+ )()( 秩秩;齐次线性方程组 0=AX 与 0=BX 没有非零的公共解的充分必要条件是nBA =+ )()( 秩秩 八、(15 分)设 BA, 是两个 n阶正定矩阵,证明: 若 BAAB = ,则 AB也是正定矩阵; 若 BA 正定,则11 AB 也正定.