南京航空航天大学814高等代数真题2018年硕士研究生入学考试初试试题.pdf
科目代 码:814 科目 名称 : 高等 代数 第1 页 共3 页 南 京 航 空 航 天 大学 2018 年 硕士研究生入学考试初试 试题 ( A 卷 ) 科目代码: 814 满分: 150 分 科目名称: 高等代数 注意: 认 真阅 读答 题纸上 的注 意事项 ; 所有答案 必须 写在 答 题纸 上,写在 本试 题纸或 草稿 纸上均无 效; 本试题纸须随 答题 纸一起装入试题袋中 交回 ! 一、(15 分) 设多项式 b ax x x x x f 2 3 4 3 2 ) ( ,且 ) ( | 2 2 x f x x , 这里符号“|”表示 多 项式的整除. 1 求 b a, 的值; 2 若 ) (x f 是 4 阶矩阵A 的特征多项式,求A 的全部特征值 ; 3 若 2 2 x x 是A 的最小多项式, 证明: n E A E A ) 2 ( ) ( 秩 秩 ,这里E 是单位矩阵, 以下各题相同. 二、(15 分) 设 1 V 是由向量组 T T T a a a a ) , , 2 ( , ) 4 , , 2 ( , ) , 1 , 1 ( 3 2 1 生成的 3 R 的子 空间, 2 V 是由向量组 T T T a a a ) 1 , 1 , ( , ) 1 , , 1 ( , ) , 1 , 1 ( 3 2 1 生成的 3 R 的另一个子空间, 这里 “T ”表示 转置,以下 各题相同 1 若 2 ) dim( 1 V ,求a 的值 ; 2 若 1 V 不是 2 V 的子空间, 求a 的值; 3 证明: 2 1 3 V V R . 三、(20 分) 设A 是 n m 实矩阵. 1 证明 对任意n 维列向量 ,方程组 T T A AX A 都有解; 2 证明 T T A AX A 有唯一解 的充分必要条件是秩 n A ) ( ; 3 若 2 2 1 0 , 1 1 1 0 1 1 1 1 a a a a a A , 且 AX 无解, 求 T T A AX A 的模 (长度) 最 小的特解. 科目代 码:814 科目 名称 : 高等 代数 第2 页 共3 页 四、(20 分) 设 3 R 的线性变换 在基 T T T ) 1 , 1 , 1 ( , ) 0 , 1 , 1 ( , ) 0 , 0 , 1 ( 3 2 1 下的矩阵是 1 1 1 2 2 3 2 1 2 a a A 1 求 在基 T T T ) 1 , 0 , 0 ( , ) 0 , 1 , 0 ( , ) 0 , 0 , 1 ( 3 2 1 下的矩阵B ; 2 若 有三个线性无关的特征向量, 求a 的值; 3 若 T ) 2 , 3 , 2 ( 是 的一个特征向量,证明A 不 能 与 对 角 矩阵 相 似 , 并 求A 的 Jordan 标准形. 五、(20 分) 设 3 阶实 对称矩阵A 的各行元素之和为零,二次型 X A X X f T ) ( 经正交变换 PY X 化为 2 3 2 2 6 6 y y ,其中 T T y y y Y x x x X ) , , ( , ) , , ( 3 2 1 3 2 1 . 1 求矩阵A 的全部特征值; 2 求正交矩阵P ; 3 求矩阵A . 六 、(20 分) 设A 与B 是两个n 阶实幂等矩阵(即 B B A A 2 2 , ) ,且 BA AB ,证明: 1 若 A A T 且 | x Ax R x V n ,则V 的正交补为 0 | Ay R y V n ; 2 存在可逆矩阵 1 P ,使 得 0 0 0 1 1 1 r E AP P ,其中r 是矩阵A 的秩; 3 存在可逆矩阵P ,使得 AP P 1 与 BP P 1 同时为对角矩阵 七 、(20 分) 设 ) ( m 是n 阶矩阵A 的最小多项式, ) ( f 是一个次数大于零的多项式, 证明 : 1 如果 ) ( | ) ( m f , 则 ) (A f 不可逆; 2 设 ) ( d 是 ) ( f 与 ) ( m 的一个最大公因式,则 秩 ) ( ( A f 秩 ) ( ( A d ; 3 ) (A f 非奇异的充分必要条件是 ) ( f 与 ) ( m 互素 科目代 码:814 科目 名称 : 高等 代数 第3 页 共3 页 八 、(20 分) 设 B A, 都是n 阶正定矩阵,证明: 1 多项式方程 0 B A 的根都是正数; 2 设 n , , , 2 1 是方程 0 B A 的n 个根,则存在 可逆矩阵P ,使得 ); , , , ( diag 2 1 1 1 n BP A P 3 B A 的充分必要条件是 方程 0 B A 的根都是 1.