2013-20浙江工商大学高等代数考研真题.pdf
浙江工商大学 2013 年硕士研究生入学考试试卷(A)卷 考试科目:846 高等代数 总分:150 分 考试时间:3 小时 1 (15 分)计算 阶行列式1+n11220000000111 11nnaaaaDaa=LLMMM MMLL02. (20 分)设线性方程组 =+=+=+23213213212222xxxxxxxxx(1) 问当 为何值时,该线性方程组无解? (2) 问当 为何值时,该线性方程组有无穷多解?并求其通解(用基础解系表出) 。 3. (20 分) 设二次型222123 1 2 3 13(, , ) 2 2 2Tf x x x x Ax ax x x bx x=+ (b ),其中二次型的矩阵0 A的特征值之和为 1,特征值之积为-12. (1) 求 的值; (2) 利用正交变换将二次型ba, f 化为标准形, 并写出所用的正交变换对应的正交矩阵. 4.(20 分)在线性空间 中,已知3xR2212312 , 12, 2 ,x xxx=+ + = =+ 规定变换 01()xTdx=3, R x . 证明: (1)123, 是 的一组基, 而 T 是线性变换; 3xR(2) 求 T 在基 下的矩阵23211,1,1 xxx +=+= A. 5 (15 分)设 为 矩阵,证明:如果BA, nn 0=AB ,那么秩 秩 )(A nB )( . 6. (20 分) 设12, 是线性变换 的两个不同特征值,12, 是分别属于12, 的特征向量,证明: (1)12 + 不是 的特征向量; (2) 如果线性空间 V 的线性变换 以 V 中每个非零向量作为它的特征向量,那么 是数乘变换。 7(20 分) 设 V 是 维欧氏空间, n ,0 是 V 中固定向量且线性无关。证明: (1)1(,) (,) 0Vxx x=是 V 的子空间; (2)1dim( ) 2Vn= . 8. (20 分) 设 A是 n维线性空间 V 的线性变换A 2 =A, 证明: V = A, V A 1 (0) 。 答案写在答题纸上,写在试卷上无效 第 1 页(共 1 页) (B) #ifrf4H' 846 H+'ftry ,H.r|' lsotl ifrn'jlnl, 3rJ'F'l-. i.tHtr (* 65 r|)ff trrffi + 201 4 +rf, tfifi ft t .+itifr #2 r 0 00r21.00012 001. (15 ,) rtHllFrJilD“ =000 12I 0 0)2. ,r5h) WAh 3 FffEFF, lzlto .J*n'q. =10 -1 1 l#E ABA+ = BA-1 +E,*.8.o o -4)3. Q0 ,D J*n=tRN f (x,x,x.r) = 4 + axl -2fi - 4xrx, +4xrx, +hxrxr, f:NWW- lRNlN,hlnTlTrttirrtM f =zrt +2yl + bfi ,*a,b *lita., frEfrE:ryi:wFfrH fr!trtf;Effi.4. (15 tl> E ht +, E tA | ( ) , ' .nnU A A M F A AV A A M F A A 证明 : ( ) .nM F U V 4. ( 20 分) 2 1 11 2 1 ,1 1 2A 求正交阵 U , 使得 'UAU 成对角阵 . 5. ( 20 分)设 4321 , 为线性空间 V 的一组基 , 线性变换 A 在此基下矩阵为 2122552131211201, 分别求 A的值域与核的一组基 . 6. ( 15 分)设 12, , , n 为 n 维线性空间 V 中的一组基 . 矩阵 A 是由 V 中一组向量12, , , n 在给定基下坐标为列向量构成的矩阵 , 证明向量组 12, , , n 和矩阵 A 的秩相同 . 7. ( 15 分)设 A 为实矩阵 , 证明 'AA 和 A 秩相同 . 8. ( 15 分)设 ,ab为实数 , 求矩阵 00ba的若尔当标准型 . 9. ( 15 分)设 A 为一个 n 阶非对角矩阵的上三角方阵 . 证明 ( i)若 A 有一个 n 重特征值 , 则 A 不会相似于对角矩阵 ; ( ii)若 A 有 n 个不同特征值 , 则 A 必然相似于对角矩阵 .