2018年上海海事大学攻读硕士学位研究生入学考试专业课真题831高等代数.docx
2018 年 上 海 海 事 大 学 攻 读 硕 士 学 位 研 究 生 入 学 考 试试题(重要提示:答案必须做在答题纸上,做在试题上不给分)考试科目代码 831 考试科目名称 高等代数一、填空题(每 小 题 5 分 , 共 60 分 , 其 中 第 1012 小 题 应 填 “真 ”或 “假 ”)1 当 a=( )时多项式 f (x) x2 ax 与 g(x) x2 4x a 有公共根。2 若 数 域 P 上 的 一 元 多 项 式 f (x)与 g(x) 互 素 , 即 ( f (x), g(x) 1. 则( f (x), f (x)+g(x) = ( ).3 当 =( )时,下述齐次线性方程组有非零解: x1 2x2 2x3 2x4 02x x 2x 2x 0 1 2 3 42x 2x x 2x 0 1 2 3 42x1 2x2 2x3 x4 04 当 k=( )时,以下向量组线性相关:1 (1,1,1,3), 2 (1, 3,5,1), 3 (3, 2, 1, k), 4 (2, 6,10, k).5 设矩阵 A 和 B 分别是 23 和 33 的矩阵,秩(A )=2,秩(B)=3,则 A 与 B 的乘积 AB 的秩是( ) 。6 方 阵 A 和 B 满 足 A 1 B E , A2 A,2 这里 E 为单位矩阵 。 则 B2=( ) 。7 三阶矩阵 A 的特征根为1,2,4,则 A 的行列式|A| =( ) 。8 设 V1,V 2 都 是 线 性 空 间 V 的子空间,V 1V2, 且 V1 与 V2 有 相 同 的 维 数 , 则( ) 。9 设 A 是 3 维 欧 氏 空 间 R3 的线性变换:A(x, y, z) (x y, x z, z), (x, y, z) R3.则 A 在 基 1 (1, 0, 0),2 (1,1, 0),3 (1,1,1) 下的矩阵为 ( ) 。10 以下命题为( ) :若方阵 A, B, C 满足 AB=AC,则 B=C.11 以下结论为( ) :每一个 n 维线性空间都可以表示为 n 个一维线性空间的直和。12 以下论断为 ( ) : 若 是正交矩阵 A 的特征根, 则 1 也是 A 的特征根。二、计算题(1、3 小题各 17 分,2、4 小题各 18 分,共 70 分)1 计 算 n 阶行列式a1yya2yyyyDn y y a3 y ( y ai , i 1, 2,., n)y y y an2 取 何 值 时 , 以 下 线 性 方 程 组 有 惟 一 解 、 无 解 、 无 穷 多 解 ? 在 有 无 穷 多 解 时 , 求通解(用向量形式表示) :x1 x2 x3 4x x x 2 1 2 3x x 2x 43 设 W 是 R22 中 由 矩 阵 1 2 3A 2 1 , A 1 0, A 3 1 , A 1 11 1 32 2 0 1 1 3 1 3 3 生成的子空间,求 W 的基与维数。4 求一正交线性变换,将以下二次型化为标准型:f (x , x , x ) x 2 x 2 x 2 4x x 4x x 4x x .1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3三、证明题(选做 2 小题,每小题 10 分,共 20 分)1 设 A 与 B 是 mn 矩阵,证明:秩( A+B) 秩(A)+秩(B).2 设 A 是 线 性 空 间 V 上的线性变换, Ak1()0 而 Ak()=0, 这 里 k0。证明:, A(), ., Ak1() 线性无关。3 设 A 为 n 阶 复 矩 阵 , 其 秩 为 r( A) r 且 A2 A . 证明:(1) A 相似于一个对角矩阵。(2) | A E | 2r 。