2019重庆理工大学研究生考试专业课真题822高等代数.pdf
重庆理工大学硕士研究生试题专用纸 第 1 页 ( 共 4 页 ) 重庆理工大学 20 1 8 年攻读硕士学位研究生入学考试 试题 学院名称:理学院 学科、专业名称:数学,统计学 考试科目(代码) :高等代数(8 2 2 ) (A 卷) (试题共 4 页) 注意:1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上,写在试题纸上一律无效。 2.试题与答题纸装入原信封内交回。 一、填空题(每小题 3 分,共 1 5 分) 1. 方程 2 223 334 4444 123 0 123 123 x x x x 的所有根为_ _. 2. 设 20 11 A , 2 2 BAAI , I 为 2 阶单位矩阵,则 1 B _ _ _ _ _ _ _ _ . 3. 方程组 12 23 31 2 3 xxa x xa xx 有解的充要条件是 a _ _ _ _ _ _ _ _ . 4. 已知 , A B 为 3 阶方阵, A 与B 相似, 且A 的特征值为 1,2,3.设B 为B 的伴随矩阵,则 B I _ _ _ _ _ _ _ _ . 5 . 已知实二次型 222 123 1 2 3 12 13 23 (,) ( )2 2 2 fxxxaxxxx xx xx x 经 正交变换x Py 可化为标准形 2 1 3 f y ,则 a _ _ _ _ _ _ _ _ . 二、单项选择题(每小题 3 分,共 1 5 分) 1. 设 () ,() ,() fxgxhx 为数域F 上的多项式,则下列说法正确的是重庆理工大学硕士研究生试题专用纸 第 2 页 ( 共 4 页 ) () . (A ) 若 ()() ()() f xgx fxhx ,则 () () gx hx (B ) 若() ,() )1 fxgx ,则 () ,() () )1 fxgx fx (C ) 若 () ,() ,() fxgxhx 互素,则 () ,() ,() fxgxhx 两两互素 (D ) 若 () | ()() fxgxhx ,则 () | () fxgx 或 () |() fxhx 2. 设 3 阶方阵A 的秩 ()2 RA ,则 () RA () . ( A )0 ( B )1 ( C )2 ( D )3 3 . 设向量组 12 :, r A 可由向量组 12 :, s B 线性表示,则下 列说法正确的是( ). (A ) 当rs 时, 向量组B 必线性相关 (B ) 当rs 时, 向量组B 必线性相关 (C ) 当rs 时, 向量组A 必线性相关 (D ) 当rs 时, 向量组A 必线性相关 4. 若n 阶矩阵A 的任意 一行的n 个元素之和都是a ,则A 必有一 个特征值 为( ). (A ) a (B ) a (C ) 0 ( D ) 1 a 5. 设 是欧氏空间V 的一个正交变换,则下列说法不正确的是( ). (A ) 保持向量的内积不变 (B ) 保持向量的长度不变 (C ) 不一定是可逆变换 (D ) 在任一规范正交基下的矩阵是正交矩阵 三、( 14 分)证明: 设 ) (x f 是数域F 上的 次数大于 0 的多项式 , 则 ) (x f 是 一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是,对F 上的任意多项式 ) (x g , 必有 1 ) ( ), ( ( x g x f , 或者对某一正整数m ,有 ) ( | ) ( x g x f m .重庆理工大学硕士研究生试题专用纸 第 3 页 ( 共 4 页 ) 四、(18 分)计算n 阶行列式 3 1 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 0 2 3 1 0 0 0 0 2 3 1 0 0 0 0 2 3 n D . 五、(16 分)设B 是r 阶方阵,C 是rn 阶矩阵,且 () RC r ,证明: (1 ) (1 0 分 ) 如 果BC O ,那么BO ; (2 ) (6 分)如果BC C ,那么B I . 六、(18 分)已知向量组 1 =2 , 1 , 4 , 3 , 2 =1 , 1 ,6 , 6 , 3 =1 ,2 2 ,9 , , 4 =1 , 1 , 2 , 7 , 5 =4 4 9 2 , ,设 123 , 生 成的子空间为 1123 (, , ) WL , 12 , 生成的子空间为 212 (, ) WL . (1 ) (10 分 )求子空间 12 WW 的维数; (2 ) (8 分)求子空间 12 WW 的一个极大无关组. 七、 ( 2 0 分 )设 3 F 是数域F 上所有 3 维行向量构成的 向量空间, 是 3 F 的 一个线性变换 , 给定 3 F 的一个基: 1 = ( 1, 1, 1) , 2 =( 1 , 0 , 1 ) , 3 =( 0 , 1 , 1 ) ,且 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵是 110 110 023 .重庆理工大学硕士研究生试题专用纸 第 4 页 ( 共 4 页 ) (1 ) ( 8 分)求出 在基 1 =( 1 , 0 , 0 ) , 2 =( 0 , 1 , 0 ) , 3 = ( 0, 0, 1 ) 下的矩阵; (2 ) ( 6 分)求出 的特征值和特征向量; (3 ) ( 6 分)判定 能否相似对角化. 八、(14 分)设A 是n 阶正定矩阵, n I 是n 阶单位矩阵. (1 ) ( 8 分)证明:A 的伴随矩阵A 是正定的; (2 ) ( 6 分)证明: 2 n A I 大于 2 n . 九、( 2 0 分)已知实二次型 222 123 1 2 3 2 3 ( ,) 2332 fxxx a x x x xx 可 ( 0 a )通过变量的正交变换化为标准形 222 123 1 2 3 (, , )4 f y y y y ay by . (1 ) ( 8 分)求 , ab 的值; (2 ) ( 1 2 分 )求出将 123 (, , ) fxxx 化为标准形时所用的正交变换的矩阵.