2020年中南大学数学与统计学院博士研究生考核制入学考试大纲《泛函分析》.docx
新祥旭考研官网 http:/www.xxxedu.net/中南大学考研辅导班:2020 年中南大学数学与统计学院博士研究生考核制入学考试大纲泛函分析卷面满分值为 100 分,考试时间为 100 分钟。一、适用范围适用于数学专业博士生入学考试二、内容及要求1、线性赋范空间(1)度量空间和不动点原理(2)线性赋范空间和一些经典例子(3)完备性和 Banach 空间要求:了解度量空间、线性赋范空间、完备性和 Banach 空间的定义,掌握不动点定理、经典赋范空间中的三角不等式(Minkowski 不等式)以及完备性的证明。2、有界线性算子(1)空间 B(X,Y)(2)共鸣定理及其应用新祥旭考研官网 http:/www.xxxedu.net/(3)开映射定理、逆算子定理和闭图像定理(4)Hahn-Banach 延拓定理及其推论要求:有界线性算子、空间 B(X,Y)的定义;空间 B(X,Y)在何种条件下成为 Banach空间;有界线性算子的范数计算;掌握共鸣定理及其相关应用、逆算子定理、闭图像定理、Hahn-Banach 延拓定理及其推论。3、连续线性泛函(1)对偶空间 X*(2)弱收敛和弱星收敛(w 收敛和 w 收敛)*要求:连续线性泛函、对偶空间 X 的定义;连续线性泛函的范数计算; 、 、* 0clp等空间的对偶;自然嵌入算子;依范数收敛、弱收敛和弱星收敛的定义,,baC以及这三种收敛的关系。4、Hilbert 空间(1)内积空间和 Hilbert 空间(2)正交投影(3)Riesz 表示定理要求:新祥旭考研官网 http:/www.xxxedu.net/内积、内积空间、Hilbert 空间、投影的定义;内积运算的相关性质(勾股定理、平行四边形法则、极化恒等式等);Cauchy-Schwartz 不等式;投影定理;投影的等价刻画;Riesz 表示定理5、谱理论要求:谱点的定义和分类;自伴算子、酉算子、左移算子的谱点集。三、参考书目1. 泛函分析基础,科学出版社,刘培德编著2. 泛函分析讲义,高等教育出版社,许全华等编著