1第 21讲 特殊的平行四边形第 1课时 矩形重难点 矩形的性质与判定如图，在四边形 ABCD中，ADBC，ABCADC90°，对角线 AC，BD 相交于点 O，DE 平分ADC 交 BC于点 E，连接 OE.(1)求证：四边形 ABCD是矩形；(2)若 AB2，求OEC 的面积【思路点拨】 (1)四边形 ABCD中有两个角的度数为 90°，再证明一个角的度数等于 90°，则可以利用三个角是直角的四边形是矩形来证明(2)根据矩形的性质及 DE平分ADC，易得DEC 为等腰直角三角形，从而 CEDCAB2.从而要求的OEC已求出一条底边的长，从而只需要求出该边上的高即可，不妨过点 O作 OFBC.利用中位线的性质，求出 OF的长即可【自主解答】 解：(1)证明：ADBC，ABCBAD180°.ABC90°，BAD90°.BADABCADC90°.四边形 ABCD是矩形(2)过点 O作 OFBC 于点 F.四边形 ABCD是矩形，AOBOCODO.BFFC.OF 为ABC 的中位线OF AB1.12DE 平分ADC，ADC90°，EDC45°.EDC 是等腰直角三角形，ECCD2.S OEC EC·OF1.12方 法 指 导1判定矩形的基本思路：(1)若已知两个角的度数为 90°，则再证明一个角为 90°，可以证明该四边形是矩形；(2)若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角；(3)若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形；(4)若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等2应用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理或三角函数求线段的长度是常用的思路，又可根据矩形对角线相等且互相平分求解，故可借助对角线的关系得到全等三角形，矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计算和证明题中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角的等量关系【拓展问题】 (3)如图，小明在矩形纸片 ABCD的边 AD上取中点 E，将ABE 沿 BE折叠后得到GBE，且点 G在矩形 ABCD内部，将 BG延长交 DC于点 F，小明认为 GFDF，你同意吗？请说明理由2【思路点拨】 连接 EF，由折叠和中点性质可知 EGED，利用“ HL”证明 RtEGF RtEDF 即可【自主解答】 解：同意理由如下：连接 EF.根据折叠的性质，得 AEEG，ABGE.四边形 ABCD是矩形，DA90°.DBGEEGF90°.点 E是 AD的中点，AEEDEG.在 RtEGF 和 RtEDF 中，EG ED，EF EF， ) RtEGF RtEDF( HL)GFDF.对于解决矩形中的折叠问题，有以下三方面的思路：(1)折叠的性质：折叠前后的两部分图形全等，方 法 指 导对应边、角、线段等均相等；(2)找出隐含的折叠前后的图形中线段、角的位置关系和数量关系；(3)一般运用三角形全等、勾股定理、相似三角形等知识及方程思想，设出恰当的未知数，解方程来求线段长.(4)在(3)的条件下，若 DC2FC，试判断 AD与 AB的数量关系，并说明理由【思路点拨】 不妨设 CDx，根据题目中所给信息分别用含有 x的代数式表示出 CD，BC 的长度，从而求得两条线段的比【自主解答】 解：AD AB.理由如下：2设 FCx，则 BGABDC2x.由(3)知，GFDF，GFx.BFBGGF2xx3x.在 RtBFC 中，由勾股定理，得 BC 2 x.BF2 CF2 （ 3x） 2 x2 2 .ADAB BCAB 22x2x 2AD AB.2【 变式训练】 (2018·青岛)已知：如图，在ABCD 中，对角线 AC与 BD相交于点 E，点 G为 AD的中点，连接CG，CG 的延长线交 BA的延长线于点 F，连接 FD.(1)求证：ABAF；(2)若 AGAB，BCD120°，判断四边形 ACDF的形状，并证明你的结论解：(1)证明：四边形 ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD.AFCDCG.3GAGD，AGFDGC，AGFDGC( ASA)AFDC.ABAF.(2)结论：四边形 ACDF是矩形理由：AFCD，AFCD，四边形 ACDF是平行四边形四边形 ABCD是平行四边形，BADBCD120°.FAG60°.ABAGAF，AFG 是等边三角形AGGF.AGFDGC，FGCG. AGGD，ADCF.四边形 ACDF是矩形考点 1 矩形的性质1如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点 O，以下说法错误的是( D)AABC90° BACBD COAOB DOAAD2如图，矩形 ABCD的两条对角线相交于点 O.若AOD120°，AB6，则 AC等于( C)A8 B10 C12 D183(2018·内江)如图，将矩形 ABCD沿对角线 BD折叠，点 C落在点 E处，BE 交 AD于点 F.已知BDC62°，则DFE 的度数为( D)A31° B28° C62° D56°4如图，在矩形 ABCD中，AB3，BC5，点 E在 AD上，且 BE平分AEC，则ABE 的面积为( D)A2.4 B2 C1.8 D1.545(2018·株洲)如图，矩形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，AC10，P，Q 分别为 AO，AD 的中点，则 PQ的长度为 526(2018·江西)如图，在矩形 ABCD中，AD3，将矩形 ABCD绕点 A逆时针旋转，得到矩形 AEFG，点 B的对应点E落在 CD上，且 DEEF，则 AB的长为 3 . 27.(2018·湘西州)如图，在矩形 ABCD中，E 是 AB的中点，连接 DE，CE.(1)求证：ADEBCE；(2)若 AB6，AD4，求CDE 的周长解：(1)证明：在矩形 ABCD中，ADBC，AB90°.E 是 AB的中点，AEBE.在ADE 与BCE 中，AD BC， A B，AE BE， )ADEBCE( SAS)(2)由(1)知，ADEBCE，则 DEEC.在 RtADE 中，AD4，AE AB3.12由勾股定理知，DE 5.AD2 AE2 42 32CDE 的周长2DECD2DEAB16.考点 2 矩形的判定8(2018·上海)已知ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( B)5AAB BAC CACBD DABBC9(2018·湘潭)如图，已知点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD各边的中点，则四边形 EFGH是( B)A正方形 B矩形 C菱形 D平行四边形10(2018·新疆)如图，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 是 AC上的两点，并且 AECF，连接 DE，BF.(1)求证：DOEBOF；(2)若 BDEF，连接 EB，DF，判断四边形 EBFD的形 状，并说明理由解：(1)证明：四边形 ABCD是平行四边形，AOCO，BODO.又AECF，AOAECOCF，即 OEOF.在DOE 和BOF 中，DO BO， DOE BOF，OE OF， )DOEBOF( SAS)(2)四边形 EBFD是矩形DOEBOF，ODEOBF，DEBF.DEBF.四边形 EBFD是平行四边形又BDEF，四边形 EBFD是矩形11(2018·通辽)如图，在ABC 中，D 是 BC边上一点，E 是 AD的中点，过点 A作 BC的平行线交 BE的延长线于点 F，且 AFCD，连接 CF.(1)求证：AEFDEB；(2)若 ABAC，试判断四边形 ADCF的形状，并证明你的结论证明：(1)E 是 AD的中点，AEDE.AFBC，AFEDBE，EAFEDB.6AEFDEB( AAS)(2)四边形 ADCF是矩形证法(一)：连接 DF.AF 平兴奇 CD，四边形 ADCF是平行四边形AEFDEB，BEFE.又 AEDE，四边形 ABDF是平行四边形DFAB.又 ABAC，DFAC.四边形 ADCF是矩形证法(二)：AF CD，/ = 四边形 ADCF是平行四边形AEFDEB.AFDB.又 AFCD，DBCD，即 AD是ABC 的中线ABAC，ADBC.ADC90°.四边形 ADCF是矩形12(2018·威海)矩形 ABCD与 CEFG如图放置，点 B，C，E 共线，点 C，D，G 共线，连接 AF，取 AF的中点 H，连接 GH.若 BCEF2，CDCE1，则 GH( C)A1 B. C. D. 23 22 5213(2018·玉林)如图，在ABCD 中，DCAD，四个角的平分线 AE，DE，BF，CF 的交点分别是 E，F，过点 E，F分别作 DC与 AB间的垂线 MM与 NN，在 DC与 AB上的垂足分别是 M，N 与 M，N，连接 EF.(1)求证：四边形 EFNM是矩形；(2)已知 AE4，DE3，DC9，求 EF的长解：(1)证明：过点 E，F 分别作 AD，BC 的垂线，垂足分别为 G，H.734，12，EGAD，EMCD，EMAB，EGME，GEEM.EGMEME MM.12同理可证，FHNFNF NN.12CDAB，MMCD，NNCD，MMNN.MENFEGFH.又MMNN，MMCD，四边形 EFNM是矩形(2)DCAB，CDADAB180°.3 CDA，2 DAB，12 123290°.在 RtDEA 中，AE4，DE3，AD 5.32 42四边形 ABCD是平行四边形，DABDCB.又2 DAB，5 DCB.12 1225.由(1)知，GENF，在 RtGEA 和 RtNFC 中， 2 5， EGA FNC 90°，GE NF， )GEANFC( AAS)AGCN.在 RtDME 和 RtDGE 中，DEDE，MEGE， RtDME RtDGE( HL)DMDG.DMCNDGAGAD5.MNCDDMCN954.四边形 EFNM是矩形，EFMN4.14数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证，根据图形可知他得出的这个推论指( D)8A S 长方形 ABMN S 长方形 MNDCB S 长方形 EBMF S 长方形 AEFNC S 长方形 AEFN S 长方形 MNDCD.S 长方形 EBMF S 长方形 NFGD9第 2课时 菱形重难点 菱形的性质与判定在菱形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O.(1)如图 1，若点 E，F 分别为边 AB，AD 的中点，连接 EF，OE，OF，求证：四边形 AEOF是菱形；(2)如图 2，若点 E，F 分别在射线 DB和射线 BD上，且 BEDF.求证：四边形 AECF是菱形；若AEC60°，AE6，ABBE，求 AB的长图 1 图 2 【思路点拨】 (1)要证明四边形 AEOF是菱形，由于题目所给条件都是和边相关的，故考虑利用四边都相等的四边形是菱形来证明利用菱形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明四边形 AEOF的四条边相等即可(2)要证明四边形 AECF是菱形，则考虑利用对角线互相垂直且平分的四边形是菱形来证明；要求 AB的长，可将 AB放在 RtABO 中，解直角三角形即可【自主解答】 解：(1)证明：点 E，F 分别为 AB，AD 的中点，AE AB，AF AD.12 12又四边形 ABCD是菱形，ABAD.AEAF.又菱形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，AOBD.E，F 是 AB，AD 的中点，OE AB，OF AD.12 12AEAFOEOF.四边形 AEOF是菱形(2)证明：四边形 ABCD是菱形，OBOD，OAOC，BDAC.BEDF，OBBEODDF，即 OEOF.四边形 AECF是平行四边形又ACBD，四边形 AECF是菱形四边形 AECF是菱形，AECE，AOEF，AEOCEO.AEC60°，AEO30°.AE6，AO3.ABBE.AEBBAE30°.ABOAEBBAE60°.AB 2 .AOsin60° 3方 法 指 导1与菱形有关的计算常涉及下面几种：(1)求角度时，应注意菱形的四条边相等和对角线相等、邻角互补等，结合等腰三角形和平行线的相关性质，转化要求的角，找到与已知角存在的关系求解；10(2)求长度(线段长或周长)时，应注意使用等腰 三角形的性质：若菱形中有一个顶角为 60°，连接相邻两边的顶点，菱形被对角线分割为两个等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质，同时也应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及三角函数等进行计算2判定菱形的基本思路：(1)若已知一组邻边相等，则需要证该四边形是平行四边形或四条边都相等；(2)若对角线互相垂直，则需要证明该四边形是平行四边形；(3)若已知四边形是平行四边形，则需要证明一组邻边相等或对角线互相垂直【拓展问题】 如图，若菱形 ABCD的边长为 2，ABC120°，M 是 BC的中点，P 为对角线 AC上的一个动点，则PMPB 的最小值为 .3【变式训练 1】 (2017·十堰)如图，在菱形 ABCD中，AC 交 BD于点 O，DEBC 于点 E，连接 OE.若ABC140°，则OED20°【变式训练 2】 (2018·安顺 T22，10 分)如图，在ABC 中，AD 是 BC边上的中线，E 是 AD的中点，过点 A作 BC的平行线交 BE的延长线于点 F，连接 CF.(1)求证：AFDC；(2)若 ABAC，试判断四边形 ADCF的形状，并证明你的结论解：(1)证明：E 为 AD的中点，AEDE.AFBC，AFEDBE.在AFE 和DBE 中， AFE DBE， FEA BED，AE DE， )AFEDBE( AAS)AFDB. 3 分